Conceputele poligoane. Definiția unui poligon convex. Diagonale ale unui poligon convex

Aceste figuri geometrice ne înconjoară pretutindeni. Contoarele poligonale sunt naturale, de exemplu faguri de albine sau artificiale (create de oameni). Aceste cifre sunt utilizate în producția de diferite tipuri de acoperiri, în pictura, arhitectură, decorațiuni etc. Conform poligoanelor convexe, toate punctele lor sunt situate pe o parte a liniei care trece printr-o pereche de vârfuri adiacente ale acestei figuri geometrice. Există și alte definiții. Convex este acel poligon care este situat într-o singură jumătate de plan față de orice linie care conține una din laturile sale.

Conceputele poligoane

În cursul geometriei elementare, întotdeaunaconsiderăm doar poligoane simple. Pentru a înțelege toate proprietățile unor astfel de figuri geometrice, este necesar să le înțelegem natura. În primul rând, trebuie să se înțeleagă că orice linie al cărei scop coincide este numit închis. Iar cifra formată de ea poate avea o varietate de configurații. Un poligon este o linie poligonală închisă simplă a cărei legături adiacente nu se află pe aceeași linie. Legăturile sale și vârfurile sunt, respectiv, laturile și vârfurile acestei figuri geometrice. O simplă polilinie nu trebuie să aibă intersecții.

Vârfurile unui poligon sunt numite adiacente, prin aceea cădacă reprezintă capetele uneia dintre laturile sale. O figură geometrică care are numărul n de noduri și, prin urmare, numărul n de-a lungul laturilor, se numește n-gon. Linia întreruptă se numește limita sau conturul acestei figuri geometrice. Un plan poligonal sau poligon plan este numit partea finită a oricărui plan care este mărginit de acesta. Partea vecină a acestei figuri geometrice sunt segmentele unei linii întrerupte pornind de la un vârf. Ei nu vor fi vecini dacă vin din diferite vârfuri ale poligonului.

Alte definiții ale poligoanelor convexe

În geometria elementară există mai multeechivalent în definiția sa, indicând care poligon se numește convex. Și toate aceste formulări sunt la fel de adevărate. Un poligon convex este considerat a fi:

• fiecare segment care conectează oricare două puncte din interiorul acestuia se află complet în el;

• în interiorul său se află toate diagonalele;

• orice unghi interior nu depășește 180 °.

Poligonul împarte întotdeauna planul cu 2parte. Una dintre ele este limitată (poate fi închisă într-un cerc), iar cealaltă este nelimitată. Primul este numit regiunea interioară, iar al doilea este numit regiunea exterioară a acestei figuri geometrice. Acest poligon este intersecția (cu alte cuvinte - componenta comună) a mai multor semiplanuri. În acest caz, fiecare segment care se termină la punctele care aparțin poligonului îi aparține în totalitate.

Soiuri de poligoane convexe

Definiția unui poligon convex nu indicăla faptul că există multe tipuri. Și fiecare dintre ele are anumite criterii. Astfel, poligoanele convexe, care au un unghi intern de 180 °, denumit ușor convexă. Cifra geometrică convexă care are trei vârfuri, se numește un triunghi, patru - patrulater, cinci - pentagon, etc. Fiecare dintre convex n-gon îndeplinește următoarele cerințe importante: .. N trebuie să fie egală sau mai mare decât 3. Fiecare dintre triunghiuri este convex. Figura geometrică a acestui tip, în care toate nodurile sunt situate pe un cerc, numit cercul înscris. Un poligon convex este numit descris dacă toate părțile sale din apropierea cercului îl ating. Două poligoane sunt numite egale numai în cazul când se utilizează suprapunerea pot fi combinate. poligon plat numit plan poligonal (o porțiune plană) că această figură geometrică limitată.

Poligoane convexe regulate

Sunt numiți poligoane corectefiguri geometrice cu unghiuri și laturi egale. În interiorul lor există un punct 0, care se află la aceeași distanță de fiecare dintre vârfurile sale. Se numește centrul acestei figuri geometrice. Segmentele care leagă centrul cu vârfurile acestei figuri geometrice sunt numite apofeme, iar cele care leagă punctul 0 de laturi sunt raze.

Cvadrilateralul drept este un pătrat. Triunghiul drept se numește echilateral. Pentru astfel de figuri, există următoarea regulă: fiecare unghi al unui poligon convex este de 180 ° * (n-2) / n,

unde n este numărul de vârfuri ale acestei figuri geometrice convexe.

Zona oricărui poligon regulat este definită de formula:

S = p * h,

unde p este egal cu jumătate din suma tuturor laturilor unui poligon dat și h este egal cu lungimea apophema.

Proprietățile poligoanelor convexe

Contoarele poligoane au anumite proprietăți. Astfel, segmentul care conectează oricare două puncte ale unei astfel de figuri geometrice este în mod necesar situat în ea. dovada:

Să presupunem că P este un convex datpoligon. Ia două puncte arbitrare, de exemplu, A și B, care aparțin P. Prin definiția actuală a unui poligon convex, aceste puncte sunt situate pe o parte a liniei drepte, care conține orice direcție R. În consecință, AB are de asemenea această proprietate și este conținută în R. Un poligon convex întotdeauna pot fi împărțite în mai multe triunghiuri absolut toate diagonalele, care a avut loc unul dintre vârfurile sale.

Unghiurile de figuri geometrice convexe

Unghiurile unui poligon convex sunt unghiurilesunt formate de partidele sale. Colțurile interioare se află în aria interioară a acestei figuri geometrice. Unghiul format de laturile sale, care se converg la un vârf, se numește unghiul poligonului convex. Unghiurile adiacente unghiurilor interioare ale unei figuri geometrice date sunt numite externe. Fiecare unghi al unui poligon convex situat în interiorul acestuia este egal cu:

180 ° - x,

unde x este valoarea unghiului extern. Această formulă simplă se aplică oricăror figuri geometrice de acest tip.

În general, există unghiuri externeurmătoarea regulă: fiecare unghi al unui poligon convex este egal cu diferența dintre 180 ° și valoarea unghiului intern. Poate avea valori cuprinse între -180 ° și 180 °. Prin urmare, atunci când unghiul interior este de 120 °, unghiul exterior va fi de 60 °.

Suma unghiurilor de poligoane convexe

Suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex este stabilită de formula:

180 ° * (n-2),

unde n este numărul de noduri ale n-gonului.

Se calculează suma unghiurilor unui poligon convexpur și simplu. Luați în considerare o astfel de figură geometrică. Pentru a determina suma unghiurilor din interiorul unui poligon convex, unul din vârfurile sale trebuie conectat la alte noduri. Ca rezultat al acestei acțiuni, obținem triunghiuri (n-2). Se știe că suma unghiurilor oricărui triunghi este întotdeauna de 180 °. Deoarece numărul lor în orice poligon este egal cu (n-2), suma unghiurilor interne ale unei astfel de cifre este de 180 ° x (n-2).

Suma unghiurilor unui poligon convex, viz.orice două unghiuri externe interne și adiacente, această figură geometrică convexă va fi întotdeauna de 180 °. În urma acestui fapt, este posibil să se determine suma tuturor unghiurilor sale:

180 x n.

Suma unghiurilor interne este de 180 ° * (n-2). În urma acestui fapt, suma tuturor unghiurilor externe ale cifrei date este stabilită de formula:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Suma unghiurilor exterioare ale oricărui poligon convex va fi întotdeauna 360 ° (indiferent de numărul laturilor sale).

Unghiul exterior al poligonului convex este în general reprezentat de o diferență între 180 ° și valoarea unghiului intern.

Alte proprietăți ale unui poligon convex

În plus față de proprietățile de bază ale acestor geometricefiguri, au alții care apar atunci când le manipulează. Astfel, oricare dintre poligoane poate fi împărțit în mai multe n-goni convexe. Pentru aceasta, este necesar să se continue fiecare dintre laturile sale și să se taie această figură geometrică de-a lungul acestor linii drepte. Împărțiți orice poligon în mai multe părți convexe și astfel încât vârfurile fiecărei piese să coincidă cu toate vârfurile. Din această figură geometrică este foarte simplu să faceți triunghiuri ținând toate diagonalele dintr-un vertex. Astfel, orice poligon, în analiza finală, poate fi împărțit într-un anumit număr de triunghiuri, care este foarte util în rezolvarea diferitelor probleme asociate cu astfel de figuri geometrice.

Perimetrul unui poligon convex

Piesele din polilin, numite laturilepoligon, cel mai des semnalat de următoarele litere: ab, bc, cd, de, ea. Acestea sunt laturile figurii geometrice cu vârfurile a, b, c, d, e. Suma lungimilor tuturor laturilor acestui poligon convex este numită perimetrul său.

Cercul unui poligon

Se pot inscripționa poligoane convexe șidescris. Un cerc care atinge toate laturile acestei figuri geometrice se numește înscris în el. Un astfel de poligon se numește descris. Centrul cercului care este înscris în poligon este punctul de intersecție al bisectoarelor tuturor unghiurilor dintr-o figură geometrică dată. Aria unui astfel de poligon este egală cu:

S = p * r,

unde r - raza cercului inscris, iar p - semiperimetrul acest poligon.

Un cerc care conține vârfurile unui poligon,numit în apropiere. În acest caz, această figură geometrică convexă se numește înscrisă. Centrul cercului, care este descris în apropierea unui astfel de poligon, reprezintă punctul de intersecție al așa-numitelor perpendiculare medii ale tuturor laturilor.

Diagonale de figuri geometrice convexe

Diagonalele unui poligon convex sunt segmente,care conectează nodurile adiacente. Fiecare dintre ele se află în interiorul acestei figuri geometrice. Numărul de diagonale ale unui astfel de n-gon este stabilit de formula:

N = n (n-3) / 2.

Se afișează numărul de diagonale ale unui poligon convexun rol important în geometria elementară. Numărul de triunghiuri (K), în care se poate împărți fiecare poligon convex, se calculează după următoarea formulă:

K = n - 2.

Numărul de diagonale ale unui poligon convex depinde întotdeauna de numărul de vârfuri.

Împărțirea unui poligon convex

În unele cazuri, pentru a rezolva geometriceste necesar să se împartă un poligon convex în mai multe triunghiuri cu diagonale disjuncte. Această problemă poate fi rezolvată derivând o formulă definită.

Definirea problemei: suna un fel dreptul de partiție al unui convex n-gon în mai multe triunghiuri prin diagonalele care se intersectează doar la nodurile unei figuri geometrice.

soluţie: Să presupunem că P1, P2, P3 ..., Pn sunt nodurile acestui n-gon. Numărul Xn reprezintă numărul partițiilor sale. Considerăm cu atenție diagonala rezultată a figurii geometrice Pi Pn. În oricare dintre partițiile obișnuite P1 Pn aparține unui anumit triunghi P1 Pi Pn, pentru care 1 <i <n. Continuând de aici și presupunând că i = 2,3,4 ..., n-1, obținem (n-2) grupele acestor partiții, în care sunt incluse toate cazurile speciale.

Fie i = 2 un grup de regulicare conține întotdeauna diagonala P2 Pn. Numărul partițiilor care intră în el coincide cu numărul de partiții ale (n-1) -gon P2 P2 P3 ... Pn. Cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1.

Dacă i = 3, atunci acest alt grup de partiții va ficonține întotdeauna diagonalele P3 P1 și P3 Pn. Mai mult decât atât, numărul partițiilor obișnuite conținute în acest grup va coincide cu numărul de partiții (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Cu alte cuvinte, va fi egal cu Xn-2.

Fie i = 4, apoi printre triunghiurile regulatepartiție va conține cu siguranță un triunghi P4 P1 Pn, care va învecina patrulaterul P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. Numărul de partiții corecte astfel de patrulater este egal cu X4, iar numărul de partiții (n-3) -gon este egal Xn-3. Pe baza celor de mai sus, putem spune că numărul total de partiții regulate, care sunt incluse în acest grup este egal cu Xn-3 X4. Alte grupuri, în care i = 4, 5, 6, 7 ... va conține 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 partițiilor regulate.

Fie i = n-2, atunci numărul partițiilor obișnuite dintr-un anumit grup va coincide cu numărul de partiții dintr-un grup pentru care i = 2 (cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1).

Deoarece X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., atunci numărul tuturor partițiilor unui poligon convex este egal cu:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

exemplu:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Numărul de partiții obișnuite care intersectează o diagonală

La verificarea cazurilor particulare, se poate presupune că numărul de diagonale ale n-gonvei convexe este egal cu produsul tuturor partițiilor acestei cifre cu (n-3).

Dovada acestei presupuneri: noi reprezentăm că P1n = Xn * (n-3), atunci orice n-gon poate fi descompus în triunghiuri (n-2). În același timp, una dintre ele poate fi combinată (n-3) - quadrangle. Împreună cu aceasta, fiecare patrulater va avea o diagonală. Deoarece această figură geometrică convex două diagonale poate fi realizată, ceea ce înseamnă că, în orice (n-3) -chetyrehugolnikah poate efectua suplimentar diagonal (n-3). Datorită acestui fapt, se poate concluziona că în orice partiție obișnuită este posibil să se efectueze (n-3) -diagonele corespunzătoare condițiilor acestei probleme.

Zona de poligoane convexe

Adesea atunci când rezolvarea diferitelor probleme, elementargeometrie, devine necesar să se determine zona unui poligon convex. Să presupunem că (Xi, Yi), i = 1,2,3 ... n este o secvență de coordonate a tuturor vârfurilor învecinate ale unui poligon care nu are auto-intersecții. În acest caz, suprafața sa este calculată după următoarea formulă:

S = 1 (Σ (X_eu + X_{i + 1}) (Y._eu + Y_{i + 1})),

unde (X₁, Y₁) = (X_{n +1}, Y_{n + 1}).