Care este tangenta cercului? Proprietățile tangentei în cerc. Tangenta comună la două cercuri

Secundele, tangentele - toate aceste sute de ori ai auzit la lecțiile de geometrie. Dar absolvirea școlii în spatele ei, trecerea anilor, și toate aceste cunoștințe sunt uitate. Ce ar trebui să-mi amintesc?

esență

Termenul "tangent la cerc"probabil, tuturor. Dar cu greu toată lumea va fi capabilă să-și formuleze rapid definiția. Între timp, o tangentă este o linie dreaptă situată într-un plan cu un cerc care o intersectează numai într-un punct. Poate exista un număr mare de ele, dar toate au aceleași proprietăți, care vor fi discutate mai jos. Nu este greu de ghicit că punctul de tangență este locul unde se intersectează cercul și linia. În fiecare caz, este unul, dar dacă există mai multe, atunci va fi deja secant.

Istoria descoperirii și studiului

Conceptul de tangent a apărut în cele mai vechi timpuri. Construcția acestor linii drepte în primul rând în cerc și apoi la elipse, parabole și hiperbolași, cu ajutorul unui conducător și a unui busol, a fost efectuată chiar și în etapele inițiale ale dezvoltării geometriei. Bineînțeles, istoria nu a păstrat numele descoperitorului, dar este evident că chiar și atunci oamenii știau tangenta circumferinței.

În vremurile moderne, interesul pentru acest fenomen a crescutdin nou - o nouă rundă de studiu a acestui concept a început odată cu descoperirea de noi curbe. Deci, Galileo a introdus conceptul de cicloid, iar Fermat și Descartes au construit o tangență la acesta. În ceea ce privește cercurile, se pare că nici măcar pentru antici nu existau secrete în această zonă.

proprietăţi

Raza trasată la punctul de intersecție va fi perpendiculară pe linia dreaptă. Asta este

principala, dar nu singura proprietate careare o tangenta la cerc. O altă caracteristică importantă include două linii drepte. Prin urmare, printr-un punct situat în afara cercului, puteți desena două tangente, iar segmentele lor vor fi egale. Există încă o teoremă pe această temă, cu toate acestea, este rareori susținută în cadrul unui curs școlar standard, deși este extrem de convenabil pentru rezolvarea unor probleme. Sună așa. De la un singur punct situat în afara cercului, sunt atinse o tangenta si o secant. Sunt segmente AB, AC și AD. A este intersecția liniilor, B este punctul de tangență, C și D sunt intersecțiile. În acest caz, următoarea egalitate va fi valabilă: lungimea tangentei la cerc, pătrat, va fi egală cu produsul segmentului AC și AD.

Din cele de mai sus, există o consecință importantă. Pentru fiecare punct al cercului, puteți construi o tangentă, dar numai una. Dovada acestui lucru este destul de simplă: prin scăderea teoretică a perpendicularului de pe rază, aflăm că triunghiul format nu poate exista. Și aceasta înseamnă că tangenta este unică.

clădire

Printre alte probleme în geometrie există o categorie specială, de regulă, nu

iubitorii de elevi și studenți. Pentru a rezolva sarcini din această categorie, sunt necesare doar o busolă și o riglă. Acestea sunt sarcini de construcție. Sunt pe construirea unei tangente.

Deci, având un cerc și un punct care se află în afara acestuia.frontiere. Și trebuie să țineți o tangență prin ele. Cum se face? În primul rând, trebuie să desenați un segment între centrul cercului O și un punct dat. Apoi, cu o busolă ar trebui împărțită în jumătate. Pentru a face acest lucru, trebuie să specificați o rază - puțin peste jumătate din distanța dintre centrul cercului original și punctul dat. După aceasta, trebuie să construiți două arce intersectate. Mai mult decât atât, raza busolei nu este necesară schimbării, iar centrul fiecărei părți a cercului va fi punctul inițial, respectiv O. Punctele de intersecție a arcurilor trebuie să fie conectate, ceea ce va împărți segmentul în jumătate. Setați o rază pe o busolă egală cu această distanță. Apoi, cu centrul de la punctul de intersecție, construiți un alt cerc. Va conține atât punctul inițial, cât și O. Vor exista două intersecții cu cercul dat în problemă. Acestea vor fi punctele de atingere pentru punctul specificat inițial.

interesant

A fost construirea de tangente la cercul care a condus la naștere

calculul diferențial. Prima lucrare pe această temă a fost publicată de faimosul matematician german Leibniz. El a avut în vedere posibilitatea de a găsi maxime, minime și tangente, indiferent de valorile fracționate și iraționale. Ei bine, acum este folosit pentru multe alte calcule.

În plus, este asociată tangenta cu cerculsensul geometric al tangentei. De aici rezultă numele său. Tradus din tangens latin - "tangent". Astfel, acest concept este conectat nu numai cu geometria și calculul diferențial, ci și cu trigonometria.

Două cercuri

Nu întotdeauna tangenta afectează doar o singură formă. Dacă puteți desena un număr mare de linii drepte într-un singur cerc, atunci de ce nu invers? Poți. Dar sarcina în acest caz este foarte complicată, deoarece tangenta la două cercuri nu poate trece prin nici un punct, iar aranjamentul reciproc al tuturor acestor figuri poate fi foarte

diferite.

Tipuri și soiuri

Când vine vorba de două cercuri și una sau unamai multe linii drepte, chiar dacă se știe că acestea sunt tangente, nu este clar imediat cum toate aceste figuri sunt aranjate unul față de celălalt. Pe baza acestui fapt, există mai multe soiuri. Deci, cercurile pot avea unul sau două puncte comune sau nu le au deloc. În primul caz, se vor intersecta, iar în al doilea - să atingă. Și aici există două tipuri. Dacă un cerc este încorporat în cel de-al doilea cerc, atunci atingerea se numește internă, dacă nu, apoi externă. Puteți înțelege poziția relativă a cifrelor nu numai din desen, ci și informații despre suma razei lor și distanța dintre centrele lor. Dacă aceste două valori sunt egale, atunci cercurile sunt tangente. Dacă prima este mai mare, se intersectează și, dacă este mai mică, nu au puncte comune.

Același lucru cu linii drepte. Pentru oricare două cercuri care nu au puncte comune, puteți

construiți patru tangente. Două dintre ele se vor intersecta între figuri, ele sunt numite interne. Câteva altele sunt externe.

Dacă vorbim despre cercuri care au unaun punct comun, atunci sarcina este mult simplificată. Faptul este că pentru orice aranjament reciproc în acest caz, vor avea doar o tangentă. Și va trece prin punctul de intersecție. Deci construcția dificultății nu va provoca.

Dacă cifrele au două puncte de intersecție, atuncipentru ei poate fi construită o linie dreaptă care este tangentă la cerc, atât una cât și a doua, dar numai externă. Soluția la această problemă este similară cu ceea ce va fi discutat în continuare.

Rezolvarea problemelor

Ambele interne și externe tangentează la douăcercuri, în construcție nu este atât de simplu, chiar dacă această problemă este rezolvată. Faptul este că pentru aceasta este folosită o figură auxiliară, deci gândiți-vă la această metodă

destul de problematică. Deci, având în vedere două cercuri cu raze diferite și centrele O1 și O2. Pentru ei, trebuie să construiți două perechi de tangente.

Mai întâi, aproape de centrul cercului mai marenecesitatea de a construi un auxiliar. În același timp, pe busolă trebuie stabilită diferența dintre razele celor două figuri originale. Din centrul cercului mai mic sunt construite tangente către auxiliar. După aceea, din O1 și O2, perpendiculele sunt atrase de aceste linii până când se intersectează cu figurile originale. După cum rezultă din proprietatea de bază a tangentei, se găsesc punctele căutate pe ambele cercuri. Problema este rezolvată, cel puțin, prima sa parte.

Pentru a construi tangente interne, trebuie să rezolvați aproape

sarcină similară. Veți avea nevoie de o cifră auxiliară din nou, dar de această dată raza sa va fi egală cu suma celor inițiale. Sunt construite tangente din centrul unuia dintre cercurile date. Următorul curs al deciziei poate fi înțeles din exemplul anterior.

Tangentă la un cerc sau chiar două sau mai multe -nu o sarcină atât de dificilă. Desigur, matematicienii au încetat de mult să rezolve manual astfel de probleme și să aibă încredere în calcule pentru programe speciale. Dar nu credeți că acum nu este necesar să reușiți să faceți acest lucru singur, deoarece, pentru a formula o sarcină corectă pentru un calculator, este nevoie de mult și de înțeles. Din păcate, există temeri că, după trecerea finală la forma de testare a controlului cunoștințelor, sarcinile de construcție vor provoca din ce în ce mai multe dificultăți studenților.

În ceea ce privește găsirea de tangente comune pentru mai multe cercuri, nu este întotdeauna posibilă, chiar dacă acestea se află în același plan. Dar, în unele cazuri, puteți găsi o astfel de linie dreaptă.

Exemple din viață

Tangent total la două cercuri este adeseaapare în practică, deși nu este întotdeauna vizibilă. Transportoarele, sistemele blocurilor, centurile de transmisie a scripetelor, tensiunea firului într-o mașină de cusut și chiar doar un lanț de biciclete reprezintă exemple de viață. Deci, nu trebuie să vă gândiți că problemele geometrice rămân doar teoretic: în inginerie, în fizică, în construcții și în multe alte domenii, găsesc aplicații practice.