Exemple de inducție. Metoda de inducție matematică: exemple de soluții

A fost bazată pe cunoștințe adevărate în orice momentstabilirea regularității și dovada adevărului său în anumite circumstanțe. Pentru o perioadă atât de lungă de existență a raționamentului logic, regulile au fost formulate, iar Aristotel a compilat chiar o listă a "raționamentului corect". Din punct de vedere istoric, este comună împărțirea tuturor concluziilor în două tipuri - de la concret la plural (inducție) și viceversa (deducere). Trebuie remarcat faptul că tipurile de dovezi de la privat la general și de la general la particular există doar în relație și nu pot fi folosite interschimbabil.

Inducția în matematică

Termenul "inducție" are latinărădăcini și este tradus literalmente ca "îndrumare". Cu un studiu aprofundat, putem distinge structura cuvântului, și anume, prefixul latin - în- (denotă acțiunea îndreptată în interiorul sau în interiorul) și -ducția - introducere. Trebuie remarcat faptul că există două tipuri - inducție completă și incompletă. O formă completă se caracterizează prin concluziile trase din studiul tuturor obiectelor unei anumite clase.

Incomplet - concluziile aplicate tuturor subiecților din clasă, dar făcute pe baza studiului doar a câtorva unități.

Inducția matematică completă - inferență,bazată pe concluzia generală despre întreaga clasă a oricăror obiecte, legate în mod funcțional de relațiile unui număr natural de numere pe baza cunoașterii acestei legături funcționale. Procesul de probă trece prin trei etape:

• prima dovedește corectitudinea poziției inducției matematice. Exemplu: f = 1, aceasta este baza inducției;
• Următoarea etapă se bazează pe ipoteza valabilității poziției pentru toate numerele naturale. Aceasta este, f = h, aceasta este ipoteza de inducție;
• a treia etapă dovedește dreptatepoziția pentru numărul f = h + 1, pe baza corectitudinii clauzei anterioare, este o etapă de inducție sau o etapă de inducție matematică. Un exemplu este așa-numitul "principiu de domino": dacă primul os se încadrează într-un rând (baza), atunci toate oasele din rând (tranziția) vor cădea.

Și pentru distracție și serios

Pentru ușurința percepției, exemplele de soluții care utilizează metoda inducției matematice sunt expuse sub formă de probleme glumă. Aceasta este sarcina "linia politicoasă":

• Regulile de conduită interzic un om să ocupeo coadă în fața unei femei (într-o astfel de situație, ea este permisă înainte). Pe baza acestei declarații, dacă ultima persoană din coadă este un bărbat, atunci restul sunt bărbați.

Un exemplu frapant al metodei de inducție matematică este problema "zborului fără dimensiuni":

• Este necesar să se demonstreze că microbuzul este plasatorice număr de oameni. Este adevărat că o persoană poate fi cazată în interiorul unui vehicul fără dificultate (bază). Dar indiferent de modul în care microbuzul este umplut, un pasager se va potrivi întotdeauna în el (pasul de inducție).

Cercuri familiare

Exemple de rezolvare a metodei de inducere matematică a problemelor și a ecuațiilor sunt destul de frecvente. Ca o ilustrare a acestei abordări, putem lua în considerare următoarea problemă.

condiție: h este plasat pe un plan de cercuri. Este necesar să se demonstreze că, la orice dispunere a figurilor, hărțile formate de ele pot fi corect pictate cu două culori.

Soluția: pentru h = 1, adevărul afirmației este evident, astfel încât dovada va fi construită pentru numărul cercurilor h + 1.

Să presupunem că declarația este valabilă pentruorice hartă și în planul h + 1 cercuri sunt date. Prin eliminarea uneia dintre cercuri din total, puteți obține o hartă corect colorată cu două culori (alb-negru).

Când restaurați un cerc îndepărtat, se modificăculoarea fiecărei zone la contrariul (în acest caz, în interiorul cercului). Se pare că hartă, corect pictată în două culori, după cum este necesar.

Exemple cu numere naturale

Următoarele ilustrează aplicarea metodei de inducere matematică.

Exemple de soluții:

Dovada ca pentru orice h, egalitatea de mai jos este adevarata:

1²2²3²+ ... + h²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

soluţie:

1. Fie h = 1, atunci:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Din aceasta rezultă că pentru h = 1 afirmația este corectă.

2. Presupunând că h = d, obținem ecuația:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Presupunând că h = d + 1, obținem:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²2²3²+ ... + d²+ (d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= (d (d + 1) (2d + 1) + 6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) + 6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²(D + 1) (2 (d + 3/2) (d + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Astfel, validitatea egalității pentru h = d + 1 este dovedită, prin urmare, afirmația este adevărată pentru orice număr natural, așa cum se arată în exemplul de rezolvare a inducției matematice.

sarcină

condiție: necesită dovada că pentru orice valoare a expresiei h 7^h-1 este divizibilă cu 6 fără rest.

Soluția:

1. Să presupunem că h = 1, în acest caz:

R₁= 7¹-1 = 6 (adică divizibil cu 6 fără restul)

Prin urmare, pentru h = 1, afirmația este adevărată;

2. Fie h = d și 7^d-1 este împărțit la 6 fără rest;

3. Dovada valabilității declarației pentru h = d + 1 este formula:

R_d+1= 7^d+1-1 = 7,7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

În acest caz, primul addend este împărțit la 6 în ipoteza primului paragraf, iar al doilea addend este 6. Declarația că 7^h-1 este divizibil cu 6 fără un reziduu pentru orice fel de naturale h - adevărat.

Eroarea judecății

Adesea, dovezile folosesc greșitraționament, din cauza inexactității construcțiilor logice utilizate. Acest lucru se întâmplă în principal prin încălcarea structurii și logicii dovezilor. Un exemplu de raționament incorect este o astfel de ilustrare.

sarcină

condiție: necesită dovada că orice grămadă de pietre nu este o mână.

Soluția:

1. Să presupunem că h = 1, în acest caz există 1 piatră în gramada și declarația este adevărată (baza);

2. Să presupunem că la h = d este adevărat că o grămadă de pietre nu este o mână (presupunere);

3. Fie h = d + 1, din care rezultă că adăugarea încă unei pietre nu va face setul o mână. Concluzia este că ipoteza este valabilă pentru toate h naturale.

Eroarea constă în faptul că nu există o definiție a numărului de pietre care formează o grămadă. O astfel de omisiune este numită o generalizare pripită în metoda inducerii matematice. Un exemplu arată clar acest lucru.

Inducția și legile logicii

Din punct de vedere istoric, exemplele de inducție și deducere întotdeauna "merg mână în mână". Astfel de discipline științifice, cum ar fi logica, filozofia, le descriu sub formă de contrariu.

Din punctul de vedere al legii logicii în inductivitatedefinițiile pot fi văzute pe baza faptelor, iar adevărul premiselor nu determină corectitudinea declarației rezultate. Adesea, se obțin concluzii cu un anumit grad de probabilitate și plauzibilitate, care, firește, trebuie verificată și confirmată de studii suplimentare. Un exemplu de inducție în logică este declarația:

În Estonia - o secetă, în Letonia - o secetă, în Lituania - o secetă.

Estonia, Letonia și Lituania sunt statele baltice. În toate sectoarele baltice secetă.

Din exemplu, putem concluziona că noile informațiisau adevărul nu poate fi obținut prin metoda de inducție. Tot ce se poate aștepta este o posibilitate veridică a concluziilor. În plus, adevărul pachetului nu garantează aceleași concluzii. Cu toate acestea, acest fapt nu înseamnă că inducerea rămâne la marginea deducerii: o mare parte din dispoziții și legi științifice sunt fundamentate folosind metoda de inducție. Un exemplu este aceeași matematică, biologie și alte științe. Acest lucru se datorează în principal metodei de inducție completă, dar în unele cazuri se aplică parțial.

Vârsta respectabilă a inducției ia permis să pătrundă aproape toate sferele activității umane - aceasta este știința, economia și concluziile de zi cu zi.

Inducția în mediul științific

Metoda de inducție necesită o relație scrupuloasă,deoarece prea mult depinde de numărul de elemente studiate ale întregului: cu cât este mai mare numărul studiat, cu atât rezultatul este mai fiabil. Continuând de la această caracteristică, legile științifice obținute prin metoda de inducție sunt verificate pentru o perioadă destul de lungă la nivelul ipotezelor probabilistice pentru izolarea și studierea tuturor elementelor structurale posibile, a legăturilor și a influențelor.

În știință, se bazează inferența de inducțiecaracteristici semnificative, cu excepția dispozițiilor aleatorii. Acest fapt este important în legătură cu specificul cunoașterii științifice. Acest lucru este văzut în mod clar în exemplele de inducție în știință.

Există două tipuri de inducție în lumea științifică (în legătură cu modul de studiu):

1. selectarea inducției (sau selecția);
2. inducție - o excepție (eliminare).

Primul tip se distinge prin eșantionarea metodică (scrupuloasă) a claselor (subclase) din zonele sale diferite.

Un exemplu de inducție de acest tip este următorul: argint (sau săruri de argint) purifică apa. Concluzia se bazează pe observații pe termen lung (un fel de selecție a probelor și refutări - selecție).

Al doilea tip de inducție se bazează pe concluziistabilirea relațiilor cauzale și excluderea circumstanțelor care nu corespund proprietăților sale, și anume universalitatea, aderarea la secvența temporală, necesitatea și unicitatea.

Inducție și deducere din perspectiva filosofiei

Dacă te uiți la retrospectiva istorică,Termenul "inducție" a fost menționat pentru prima oară de către Socrates. Aristotel a descris exemple de inducție în filosofie într-un dicționar terminologic mai apropiat, dar problema inducției incomplete rămâne deschisă. După persecuțiile siloglismului aristotelian, metoda inductivă a devenit recunoscută ca fiind fructuoasă și singura metodă posibilă în științele naturii. Bacon este considerat tatăl inducției ca o metodă specială independentă, dar el nu a reușit să separe inducția de metoda deductivă, după cum au cerut contemporanii.

Dezvoltarea ulterioară a inducției a implicat J. Mill, care a considerat teoria inducției din perspectiva a patru metode principale: acord, diferență, reziduuri și modificări corespunzătoare. Nu este surprinzător faptul că, până în prezent, aceste metode sunt deductive atunci când sunt examinate în detaliu.

Conștientizarea eșecului teoriilor lui Bacon și Milla condus oamenii de știință să studieze baza probabilistică a inducției. Cu toate acestea, acest lucru nu sa făcut fără extreme: au fost făcute încercări de reducere a teoriei de inducție la probabilitate cu toate consecințele care decurg din aceasta.

Votul de inducție a încrederii devine practicaplicării în anumite domenii și datorită preciziei metrice a bazei inductive. Un exemplu de inducție și deducere în filosofie poate fi considerat legea agresiunii universale. La data descoperirii legii, Newton a reușit să o verifice cu o precizie de 4 procente. La verificarea după mai bine de 200 de ani, corectitudinea a fost confirmată cu o acuratețe de până la 0,0001%, deși verificarea a fost efectuată de aceleași generalizări inductive.

Filosofia modernă acordă mai multă atențiededucerea, care este dictată de dorința logică de a deriva din cunoașterea (sau adevărul) deja cunoscută, fără a recurge la experiență, la intuiție, ci la raționamentul "pur". Atunci când abordăm ipoteza adevărată în metoda deductivă în toate cazurile, ieșirea este o afirmație adevărată.

Această caracteristică foarte importantă nu ar trebui să fieumbrește valoarea metodei inductive. Deoarece inducerea, bazându-se pe realizările experienței, devine mijlocul de procesare a acesteia (inclusiv generalizarea și sistematizarea).

Utilizarea inducției în economie

Inducția și deducerea au fost folosite de mult timp ca metode de cercetare a economiei și de prognozare a dezvoltării acesteia.

Spectrul folosind metoda de inducție este suficient: un studiu al implementării indicatorilor prognozați (profituri, deprecieri etc.) și evaluarea generală a stării întreprinderii; formarea unei politici eficiente de promovare a unei întreprinderi pe baza faptelor și a relațiilor dintre ele.

Aceeași metodă de inducție este aplicată în "hărțile Shewhart", unde presupunând separarea proceselor în controlabile și incontrolabile, se susține că cadrul procesului controlat nu este foarte mobil.

Trebuie remarcat faptul că legile științificefundamentate și susținute de metoda de inducție și din moment ce economia este o știință, adesea utilizând analiza matematică, teoria riscurilor și datele statistice, nu este surprinzător faptul că prezența inducției în lista metodelor de bază.

Un exemplu de inducție și deducere în economie poatedeserviți următoarea situație. Creșterea prețului alimentelor (din coșul de consum) și bunurile esențiale îi împinge pe consumator să se gândească la costul de viață care se ridică în stare (inducție). În același timp, este posibil să se deducă indici de creștere a prețurilor pentru anumite bunuri sau categorii de bunuri (deducerea) de la prețurile ridicate prin metode matematice.

Cel mai des se referă la metoda de inducțiepersonalul de conducere, manageri, economiști. Pentru a putea prezice cu suficientă veridicitate dezvoltarea întreprinderii, comportamentul pieței, efectele concurenței, o abordare inductiv-deductivă a analizei și procesării informațiilor este necesară.

Un bun exemplu de inducție în economie, referindu-se la judecăți eronate:

• profitul companiei a scăzut cu 30%;
  o companie rivală și-a extins linia de produse;
  nimic altceva nu sa schimbat;
• politica de producție a unei companii concurente a condus la o reducere de 30% a profiturilor;
• prin urmare, este necesară aceeași politică de producție.

Un exemplu este o ilustrare colorată a modului în care utilizarea ineptă a metodei de inducție contribuie la ruina unei întreprinderi.

Deducerea și inducerea în psihologie

Întrucât există o metodă, atunci, logic,gândirea bine organizată are loc (pentru a utiliza metoda). Psihologia ca știință care studiază procesele mentale, formarea, dezvoltarea, interconexiunile, interacțiunile, acordă atenție gândirii "deductive", ca una dintre formele deducerii și inducției. Din păcate, pe paginile psihologiei de pe Internet nu există practic nici o justificare pentru integritatea metodei deductive-inductive. Deși psihologii profesioniști se confruntă mai des cu manifestări de inducție sau, mai degrabă, cu concluzii eronate.

Un exemplu de inducție în psihologie, ca ilustrațiijudecățile greșite pot fi declarația: mama mea înșeală, prin urmare, toate femeile sunt mincinoși. Chiar mai multe pot fi descoperite exemple de "inducere" de inducție din viață:

• studentul nu este capabil de nimic, dacă are un matematică în matematică;
• el este un nebun;
• este inteligent;
• Pot face orice;

- și multe alte judecăți de valoare derivate din mesaje absolut aleatoare și, uneori, nesemnificative.

Trebuie remarcat: atunci când eroarea judecății unei persoane ajunge la punctul de absurditate, apare frontul de lucru pentru psihoterapeut. Un exemplu de inducție la o întâlnire specializată:

"Pacientul este absolut sigur că culoarea roșieîl poartă doar pericolul în orice formă. Drept urmare, o persoană a eliminat din viața sa o schemă de culori dată - pe cât posibil. La domiciliu există o mulțime de oportunități pentru o viață confortabilă. Puteți renunța la toate elementele roșii sau le puteți înlocui cu omologii făcuți într-o altă culoare. Dar în locurile publice, la locul de muncă, în magazin - este imposibil. Intr-o situație de stres, pacientul de fiecare dată are o "creștere" a stărilor emoționale complet diferite, care pot fi periculoase pentru ceilalți. "

Acest exemplu de inducție, și inconștient,numite "idei fixe". Dacă acest lucru se întâmplă cu o persoană sănătoasă din punct de vedere mental, puteți vorbi despre lipsa organizării activității mentale. Dezvoltarea elementară a gândirii deductive poate deveni o modalitate de a scăpa de stările obsesive. În alte cazuri, psihiatrii lucrează cu astfel de pacienți.

Exemplele de inducție indică faptul că "ignoranța legii nu se exclude de consecințele (judecăți eronate)".

Psihologii, care lucrează pe tema gândirii deductive, au făcut o listă de recomandări menite să ajute oamenii să stăpânească această metodă.

Primul element este soluția problemelor. După cum puteți vedea, forma de inducție, folosită în matematică, poate fi considerată "clasică", iar utilizarea acestei metode contribuie la "disciplina" minții.

Următoarea condiție pentru dezvoltarea gândirii deductiveeste expansiunea orizonturilor (care crede cu claritate, afirmă în mod clar). Această recomandare direcționează "problemele" către resursele de locuințe din domeniul științei și informațiilor (biblioteci, site-uri web, inițiative educaționale, călătorii etc.).

Precizia este următoarea recomandare. Într-adevăr, din exemplele de utilizare a metodelor de inducție se vede clar că ea este, în multe privințe, garanția adevărului declarațiilor.

Ei nu au ocolit flexibilitatea minții, implicând posibilitatea de a folosi diferite căi și abordări în rezolvarea problemei, precum și luând în considerare variabilitatea evenimentelor.

Și, desigur, observarea, care este sursa principală de acumulare a experienței empirice.

Ar trebui să menționăm și așa-numitele"Inducția psihologică". Acest termen, deși rar, poate fi găsit pe Internet. Toate sursele nu oferă cel puțin o scurtă formulare a definiției acestui termen, ci se referă la "exemple de viață", prezentând în același timp o sugestie, unele forme de boală mintală sau stări extreme ale psihicului uman ca inducție. Din toate cele de mai sus, este clar că încercarea de a aduce „un nou termen“, bazându-se pe false (și de multe ori false) condamnă trimiterea experimentator spre aprobare false (sau pripite).

Trebuie remarcat faptul că referirea la experimente1960 (fără a preciza locația, numele experimenților, eșantionul subiecților și, cel mai important, scopul experimentului) arată, ușor de înțeles, convingerea că creierul percepe informații, ocolind toate organele percepției (fraza "este afectată" s-ar potrivi mai organic), te face să te gândești la credulitatea și la lipsa de autoritate a autorului declarației.

În loc să încheiem

Regina Științelor - Matematică, nu pentru nimic care folosește toaterezervele posibile ale metodei de inducție și deducere. Exemplele considerate ne permit să ajungem la concluzia că cele superficiale și inept (fără minte, așa cum se spune) utilizarea celor mai exacte și mai fiabile metode duce întotdeauna la rezultate eronate.

În conștiința în masă, metoda de deducere este asociată cu celebrul Sherlock Holmes, care, în construcțiile sale logice, adesea utilizează exemple de inducție, folosind deducerea în situațiile potrivite.

Articolul analizează exemple de aplicare a acestor metode în diverse științe și sfere ale activității umane.